0%

Crypto·RSA算法入门之原理学习

RSA 复习—阮一峰日志学习笔记

1. RSA算法产生的背景:

1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:

对称加密算法

(1)甲方选择某一种加密规则,对信息进行加密;
(2)乙方使用同一种规则,对信息进行解密。

弱点:

甲方必须把加密规则告诉乙方,否则无法解密。
传递密钥安全性无法保证,一旦传递过程中,加密规则被截获就失去了加密的意义。

这时,新的加密方法便应运而生:

非对称加密算法

(1)乙方生成两把密钥(公钥私钥)。
公钥公开的,任何人都可以获得,私钥则是保密的。
(2)甲方获取乙方的公钥,然后用它对信息加密。
(3)乙方得到加密后的信息,用私钥解密。

此时,乙方只要公布他的公钥,甲方就可以通过公钥对发送的信息进行加密然后将密文给到乙方。奇妙的地方在于,以世界目前算力,只有乙方用手上的私钥才能解密获得明文,而解密的钥匙没有经过传递,安全性得到了保障。

RSA算法属于非对称密码



2. 数学知识储备

·互质关系

如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系(coprime)。
比如,15和32没有公因子,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。

互质结论:

  1. 任意两个质数构成互质关系,比如13和61。
  2. 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10。
  3. 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和57。
  4. 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99。
  5. p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56。
  6. p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15。

以上看过一遍,理解就好,不需要刻意记忆

以下要求理解记忆,越熟练越好!


·欧拉函数

引入:

    任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)

计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4.

φ(n) 计算公式需要一步步讨论。

讨论:

  1. 如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。

  2. 如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

  3. 如果n是质数的某一个次方,即 n = pk (p为质数,k为大于等于1的整数),则:

    qwe

比如 φ(8) = φ(23) =23 - 22 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有pk-1个,即1×p、2×p、3×p、…、pk-1×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式:

gs2

可以看出,上面的第2种情况是 k=1 时的特例。

  1. 如果n可以分解成两个互质的整数之积n = p1 × p2

    φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到“中国剩余定理”,这里就不展开了

  1. 因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。

    img

根据第4条的结论,得到:

img

再根据第3条的结论,得到:

img

也就等于
img

这就是欧拉函数的通用计算公式

比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:

img


·欧拉定理

定义

如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:

img

注:补充知识—同余

同余可理解为,a的phi(n)次方除n的余数 = 1除n的余数(就是1)

也就是说,a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说,a的φ(n)次方减去1,可以被n整除。比如,3和7互质,而7的欧拉函数φ(7)等于6,所以3的6次方(729)减去1,可以被7整除(728/7=104)。

欧拉定理特殊情况

假设正整数a与质数p互质,因为质数p的φ(p)等于p-1,则欧拉定理可以写成

img

这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。


·模反元素

定义

如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。

img

这时,b就叫做a的“模反元素”

比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。



3. RSA加解密

·密钥生成的步骤

第一步,随机选择两个不相等的质数p和q。
·比如乙方选择了61和53。

第二步,计算p和q的乘积n。
·n = 61×53 = 3233

第三步,计算n的欧拉函数φ(n)。
·φ(n) = (p-1)(q-1)
​·φ(3233) = 60×52 = 3120

第四步,随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质。
·乙方从1到3120选择了 17(实际应用中,常选65537

第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。
·所谓“模反元素”就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1
​·ed ≡ 1 (mod φ(n)) 等价于 ed - 1 = kφ(n) 等价于 ex + φ(n)y = 1 等价于 17x + 3120y = 1
​·用“扩展欧几里得算法”求解*(具体代码看RSA WriteUP),得:(x,y)=(2753,-15),即 d=2753。

第六步,n和e为公钥,n和d为私钥。
· 知道n,e为公钥(公布出去),n和d为私钥(自己藏着)。

·加密和解密

(1)加密要用公钥 (n,e)

·甲方拿到n,e 。要将明文65加密成密文(m为明文,c为密文

·利用公式(mod(n)是除于n取余数的意思

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

·得:c = 2790

(2)解密要用私钥(n,d)

·乙方收到密文m,自己手里有公钥,当然也有密钥n,d

·利用公式

This

·得:m = 65 ,则RSA算法加解密原理到此结束



4. CTF中RSA算法题

·需要安装的第三方库

  • 解题一般用python,这里需要安装两个库pycryptodomegmpy2

  • 在pycharm的下方Terminal中分别输入:

1
2
pip install pycryptodome
pip install gmpy2